사다리타기가 확실히 보장하는 건 중복이 없다는 것뿐입니다. 그런데 우리가 기대하는 건 하나 더 있죠 — 모든 자리가 같은 확률. 이건 보장되지 않아요. 흔히 그리는 사다리에서 얼마나 어긋나는지 계산해 봤습니다.
사다리가 보장하는 것은 하나뿐입니다
사다리타기에서 확실한 건 두 사람이 같은 곳에 도착하지 않는다는 것뿐이에요. 이건 수학적으로 100% 보장됩니다. 가로줄이 몇 개든, 어떻게 그리든요.
그런데 사람들이 기대하는 건 하나 더 있죠 — “모든 자리가 똑같은 확률”. 이건 보장되지 않습니다.
가로줄 5개짜리 5줄 사다리는 45%
5명이 사다리를 그리고 가로줄을 5개 그었다고 해봅시다. 1번이 자기 자리(1번)로 갈 확률이 얼마일까요?
공평하다면 20%여야 합니다. 실제로는 45.12%예요. 두 배가 넘습니다.
| 1번의 도착지 | 실제 확률 | 공평값 |
|---|---|---|
| 1번 (제자리) | 45.12% | 20% |
| 2번 | 32.23% | 20% |
| 3번 | 16.11% | 20% |
| 5번 (맨 끝) | 1.17% | 20% |
가로줄이 적으면 출발한 자리 근처에 그대로 남습니다. 멀리 가려면 가로줄을 여러 번 타야 하는데, 그럴 기회 자체가 몇 번 없거든요.
10줄 사다리 실측표
10명이 흔히 그리는 사다리입니다. 가로줄 개수에 따라 1번의 도착 확률이 어떻게 변하는지 보세요.
| 가로줄 | 1번 → 1번 | 1번 → 2번 | 1번 → 5번 | 1번 → 10번 |
|---|---|---|---|---|
| 5개 | 63.27% | 28.88% | 0.06% | 0.00% |
| 10개 | 48.86% | 31.83% | 0.93% | 0.00% |
| 20개 | 36.14% | 28.99% | 4.22% | 0.00% |
| 50개 | 23.49% | 21.49% | 9.66% | 0.65% |
| 100개 | 16.77% | 16.04% | 10.80% | 3.70% |
| 공평하다면 | 10% | 10% | 10% | 10% |
사람들이 보통 그리는 게 가로줄 20개쯤이죠. 그때 1번이 제자리로 갈 확률이 36%, 공평값의 3.6배입니다. 그리고 맨 끝인 10번으로 갈 확률은 0에 가까워요.
공평해지려면 가로줄 몇 개?
“가로줄을 많이 그으면 공평해진다”는 말은 방향은 맞아요. 그런데 얼마나 많이인지를 아무도 안 씁니다. 계산해 봤습니다.
| 세로줄(인원) | 오차 5% 이내 | 오차 1% 이내 |
|---|---|---|
| 5줄 | 25개 | 41개 |
| 6줄 | 46개 | 75개 |
| 8줄 | 116개 | 189개 |
| 10줄 | 232개 | 380개 |
| 12줄 | 409개 | 668개 |
10명이 거의 공평한 사다리를 만들려면 가로줄이 232개 필요합니다. 종이에 그럴 일은 없죠. 현실의 사다리는 거의 항상 편향돼 있습니다.
아무도 말 안 하는 함정 — 가로줄의 홀짝
이건 확률 이전의 문제예요. 가로줄 하나는 자리 두 개를 맞바꾸는 것입니다. 그러면 가로줄을 몇 개 그었느냐에 따라 나올 수 있는 배정 자체가 절반으로 줄어듭니다.
가로줄이 짝수 개 → 짝수 번 맞바꾼 배정만
예를 들어 가로줄을 짝수 개 그었다면, 아무도 안 바뀌는 배정(모두 제자리)은 나올 수 있지만 딱 두 사람만 자리를 바꾸는 배정은 절대 못 나옵니다. 홀수 번 바꾼 결과니까요.
“조작이다”는 사실일까
확인할 수 있는 것과 없는 것을 나눠 봅시다.
그럼 뭘 쓰면 될까
자주 묻는 질문
- Q. 사다리타기는 공평한가요?
- 중복이 없다는 건 100% 보장돼요. 하지만 모든 자리의 확률이 같다는 건 보장되지 않습니다. 가로줄이 적으면 출발 자리 근처에 그대로 남을 확률이 훨씬 높아요.
- Q. 가로줄을 몇 개 그어야 공평해지나요?
- 10명이면 오차 5% 안으로 들어오는 데 약 232개가 필요합니다. 5명이면 25개고요. 인원이 늘수록 급격히 많아져요.
- Q. 끝자리가 불리한가요?
- 네. 양 끝은 한쪽으로만 이동할 수 있어서 가운데보다 덜 섞입니다. 가로줄 20개짜리 10줄 사다리에서 1번이 10번으로 갈 확률은 0에 가까워요.
- Q. 사다리타기가 조작될 수 있나요?
- 사람이 직접 그리면 결과를 보고 가로줄을 고칠 수 있으니 가능합니다. 앱이나 웹 서비스의 내부 구현은 공개되지 않아 판단할 수 없어요.
- Q. 그럼 뭐가 제일 공평한가요?
- 순서를 정하는 거라면 제비뽑기가 깔끔해요. 뽑는 순서에 유불리가 없습니다. 한 명만 고르면 되는 경우엔 랜덤 뽑기가 낫고요.